정적분과 두 곡선 사이의 넓이
해석학 / 정적분과 두 곡선 사이의 넓이
4.3 정적분과 두 곡선 사이의 넓이
정적분 단원에서 요구되는 곡선과 축 사이의 음영, 두 곡선으로 둘러싸인 면적의 빗금, 그리고 구분구적법을 설명하는 리만 직사각형들을 다룹니다.
두 곡선 사이의 영역 채우기
두 함수 곡선 사이의 면적을 시각화할 때는 between() 함수를 shade: 지시어와 함께 호출합니다.
f(x) = -x^2 + 3
g(x) = x + 1
shade: between(f..g, x in -2..1), fill=#blue/15f..g 형태로 위쪽 곡선과 아래쪽 곡선을 지정하고, x in -2..1로 적분 구간을 명시합니다. Mathit은 주어진 구간 안에서 두 곡선의 상하 관계를 추적하여 해당 폐구간의 면적 전체에 색이나 빗금을 칠합니다.
단색 채우기 대신 시험지용 빗금을 칠할 때는 3장에서 다룬 hatch 옵션을 그대로 적용합니다.
shade: between(f..g, x in -2..1), hatch=(45deg, 1.8mm), stroke=0.6pt곡선과 축 사이의 면적을 칠할 때는 기준선으로 0을 넘기면 됩니다.
shade: between(f..0, x in 0..sqrt(3)), hatch=(60deg, 2mm)교점과의 자동 연동
적분 구간의 경계가 두 곡선의 교점일 때, 교점의 좌표를 직접 계산하여 손으로 적을 필요가 없습니다.
f(x) = 4 - x^2
g(x) = x^2 - 4
[P1, P2] = isect(f, g)
shade: between(f..g, x in P1.x..P2.x), hatch=(45deg, 2mm)isect로 구한 교점 객체에서 .x 접근자를 사용하여 가로 좌표값을 추출한 뒤, 이를 적분 구간 범위 P1.x..P2.x에 대입합니다. 함수의 계수가 바뀌더라도 빗금 구간이 교점의 이동에 맞춰 자동으로 재계산됩니다.
리만 합(구분구적법) 시각화
정적분의 엄밀한 정의나 급수와의 관계를 설명할 때 구간을 잘게 쪼갠 직사각형 기둥들을 그리는 문법입니다.
f(x) = 0.5*x^2 + 1
draw: riemann(f, x in 0..3, n=6, type=left), fill=#gray/20, stroke=0.8pt, color=#blackn=6은 구간을 6등분한다는 의미입니다.
type 속성은 직사각형의 높이를 결정하는 기준점을 설정합니다.
1. type=left는 각 소구간의 왼쪽 끝점 함숫값을 높이로 삼는 좌측 리만 합입니다.
2. type=right는 각 소구간의 오른쪽 끝점 함숫값을 높이로 삼는 우측 리만 합입니다.
3. type=mid는 각 소구간의 정중앙 중점 함숫값을 높이로 삼는 중점 리만 합입니다.
이 지시어를 사용하면 수많은 직사각형 다각형을 일일이 poly:로 짜 맞출 필요 없이 한 줄로 구분구적법 도판을 완성할 수 있습니다.