삼각형의 7대 심

2D 평면기하 / 삼각형의 7대 심

2.4 삼각형의 7대 심

삼각형의 여러 중심점과 관련 수치는 중고등 수학 문제의 핵심 단골 소재입니다. Mathit은 작도 계산식 없이 꼭짓점 세 개만 넘기면 각 중심점과 반지름을 즉시 추출하는 전용 함수군을 제공합니다.

내심과 내접원

내심은 세 내각의 이등분선이 만나는 교점입니다.

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I = incenter(A, B, C)
r_in = inradius(A, B, C)

circle: center=I, r=r_in, stroke=1pt, color=#blue

incenter() 함수는 내심 점을 반환하고, inradius() 함수는 내접원의 반지름 길이를 스칼라 수치로 반환합니다. 이를 이용해 위와 같이 내접원을 완벽하게 작도할 수 있습니다.

외심은 세 변의 수직이등분선이 만나는 교점입니다.

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O = circumcenter(A, B, C)
r_out = circumradius(A, B, C)

circle: center=O, r=r_out, stroke=1pt, color=#red

circumcenter()는 외심의 위치를, circumradius()는 외접원의 반지름을 구합니다. 둔각삼각형인 경우 외심 O가 삼각형 외부에 자동으로 정확히 찍힙니다.

세 중선의 교점인 무게중심과 세 꼭짓점에서 대변에 내린 수선의 교점인 수심을 구합니다.

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G = centroid(A, B, C)
H = orthocenter(A, B, C)

line: A--mid(B, C), stroke=0.8pt, dash=(3pt, 2pt)
dot: G"G"(ne), H"H"(nw)

무게중심 G는 세 점 좌표의 산술 평균값과 일치하며, 중선과 결합하여 2대 1 내분 관계를 설명하는 도식에 쓰입니다. 수심 H 역시 예각, 직각, 둔각 여부에 따라 내부 또는 외부의 올바른 기하 위치를 산출합니다.

방심은 한 내각의 이등분선과 다른 두 외각의 이등분선이 만나는 점으로, 삼각형 하나당 세 개가 존재합니다.

Mathit에서는 어느 꼭짓점의 대변 쪽에 위치한 방심인지를 지정하기 위해 on= 옵션을 사용합니다.

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J_a = excenter(A, B, C, on=A)

on=A를 전달하면 꼭짓점 A의 마주보는 변 바깥쪽에 위치한 방심을 찾아냅니다. 점 B나 점 C를 마주보는 방심을 구할 때는 각각 on=B, on=C를 대입합니다.

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